3.1223 \(\int \frac{(a+b \tan (e+f x))^4}{(c+d \tan (e+f x))^3} \, dx\)

Optimal. Leaf size=406 \[ \frac{\left (a^2 d^2 \left (3 c^2-d^2\right )+2 a b c d \left (c^2+5 d^2\right )+b^2 \left (3 c^2 d^2+c^4+6 d^4\right )\right ) (b c-a d)^2 \log (c+d \tan (e+f x))}{d^3 f \left (c^2+d^2\right )^3}-\frac{\left (6 a^2 b^2 d \left (3 c^2-d^2\right )+4 a^3 b c \left (c^2-3 d^2\right )+a^4 \left (-\left (3 c^2 d-d^3\right )\right )-4 a b^3 c \left (c^2-3 d^2\right )-b^4 d \left (3 c^2-d^2\right )\right ) \log (\cos (e+f x))}{f \left (c^2+d^2\right )^3}-\frac{x \left (6 a^2 b^2 c \left (c^2-3 d^2\right )-4 a^3 b d \left (3 c^2-d^2\right )+a^4 \left (-\left (c^3-3 c d^2\right )\right )+4 a b^3 d \left (3 c^2-d^2\right )-b^4 c \left (c^2-3 d^2\right )\right )}{\left (c^2+d^2\right )^3}+\frac{\left (2 a c d+b \left (c^2+3 d^2\right )\right ) (b c-a d)^3}{d^3 f \left (c^2+d^2\right )^2 (c+d \tan (e+f x))}-\frac{(b c-a d)^2 (a+b \tan (e+f x))^2}{2 d f \left (c^2+d^2\right ) (c+d \tan (e+f x))^2} \]

[Out]

-(((6*a^2*b^2*c*(c^2 - 3*d^2) - b^4*c*(c^2 - 3*d^2) - 4*a^3*b*d*(3*c^2 - d^2) + 4*a*b^3*d*(3*c^2 - d^2) - a^4*
(c^3 - 3*c*d^2))*x)/(c^2 + d^2)^3) - ((4*a^3*b*c*(c^2 - 3*d^2) - 4*a*b^3*c*(c^2 - 3*d^2) + 6*a^2*b^2*d*(3*c^2
- d^2) - b^4*d*(3*c^2 - d^2) - a^4*(3*c^2*d - d^3))*Log[Cos[e + f*x]])/((c^2 + d^2)^3*f) + ((b*c - a*d)^2*(a^2
*d^2*(3*c^2 - d^2) + 2*a*b*c*d*(c^2 + 5*d^2) + b^2*(c^4 + 3*c^2*d^2 + 6*d^4))*Log[c + d*Tan[e + f*x]])/(d^3*(c
^2 + d^2)^3*f) - ((b*c - a*d)^2*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(2*d*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) + ((b*c - a
*d)^3*(2*a*c*d + b*(c^2 + 3*d^2)))/(d^3*(c^2 + d^2)^2*f*(c + d*Tan[e + f*x]))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.775519, antiderivative size = 406, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 6, integrand size = 25, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.24, Rules used = {3565, 3635, 3626, 3617, 31, 3475} \[ \frac{\left (a^2 d^2 \left (3 c^2-d^2\right )+2 a b c d \left (c^2+5 d^2\right )+b^2 \left (3 c^2 d^2+c^4+6 d^4\right )\right ) (b c-a d)^2 \log (c+d \tan (e+f x))}{d^3 f \left (c^2+d^2\right )^3}-\frac{\left (6 a^2 b^2 d \left (3 c^2-d^2\right )+4 a^3 b c \left (c^2-3 d^2\right )+a^4 \left (-\left (3 c^2 d-d^3\right )\right )-4 a b^3 c \left (c^2-3 d^2\right )-b^4 d \left (3 c^2-d^2\right )\right ) \log (\cos (e+f x))}{f \left (c^2+d^2\right )^3}-\frac{x \left (6 a^2 b^2 c \left (c^2-3 d^2\right )-4 a^3 b d \left (3 c^2-d^2\right )+a^4 \left (-\left (c^3-3 c d^2\right )\right )+4 a b^3 d \left (3 c^2-d^2\right )-b^4 c \left (c^2-3 d^2\right )\right )}{\left (c^2+d^2\right )^3}+\frac{\left (2 a c d+b \left (c^2+3 d^2\right )\right ) (b c-a d)^3}{d^3 f \left (c^2+d^2\right )^2 (c+d \tan (e+f x))}-\frac{(b c-a d)^2 (a+b \tan (e+f x))^2}{2 d f \left (c^2+d^2\right ) (c+d \tan (e+f x))^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(a + b*Tan[e + f*x])^4/(c + d*Tan[e + f*x])^3,x]

[Out]

-(((6*a^2*b^2*c*(c^2 - 3*d^2) - b^4*c*(c^2 - 3*d^2) - 4*a^3*b*d*(3*c^2 - d^2) + 4*a*b^3*d*(3*c^2 - d^2) - a^4*
(c^3 - 3*c*d^2))*x)/(c^2 + d^2)^3) - ((4*a^3*b*c*(c^2 - 3*d^2) - 4*a*b^3*c*(c^2 - 3*d^2) + 6*a^2*b^2*d*(3*c^2
- d^2) - b^4*d*(3*c^2 - d^2) - a^4*(3*c^2*d - d^3))*Log[Cos[e + f*x]])/((c^2 + d^2)^3*f) + ((b*c - a*d)^2*(a^2
*d^2*(3*c^2 - d^2) + 2*a*b*c*d*(c^2 + 5*d^2) + b^2*(c^4 + 3*c^2*d^2 + 6*d^4))*Log[c + d*Tan[e + f*x]])/(d^3*(c
^2 + d^2)^3*f) - ((b*c - a*d)^2*(a + b*Tan[e + f*x])^2)/(2*d*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) + ((b*c - a
*d)^3*(2*a*c*d + b*(c^2 + 3*d^2)))/(d^3*(c^2 + d^2)^2*f*(c + d*Tan[e + f*x]))

Rule 3565

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Si
mp[((b*c - a*d)^2*(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1))/(d*f*(n + 1)*(c^2 + d^2)), x] - D
ist[1/(d*(n + 1)*(c^2 + d^2)), Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 3)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)*Simp[a^2*d*(b*d*(
m - 2) - a*c*(n + 1)) + b*(b*c - 2*a*d)*(b*c*(m - 2) + a*d*(n + 1)) - d*(n + 1)*(3*a^2*b*c - b^3*c - a^3*d + 3
*a*b^2*d)*Tan[e + f*x] - b*(a*d*(2*b*c - a*d)*(m + n - 1) - b^2*(c^2*(m - 2) - d^2*(n + 1)))*Tan[e + f*x]^2, x
], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && Gt
Q[m, 2] && LtQ[n, -1] && IntegerQ[2*m]

Rule 3635

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e
_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> -Simp[((b*c - a*d)*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*
(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1))/(d^2*f*(n + 1)*(c^2 + d^2)), x] + Dist[1/(d*(c^2 + d^2)), Int[(c + d*Tan[e + f*x
])^(n + 1)*Simp[a*d*(A*c - c*C + B*d) + b*(c^2*C - B*c*d + A*d^2) + d*(A*b*c + a*B*c - b*c*C - a*A*d + b*B*d +
a*C*d)*Tan[e + f*x] + b*C*(c^2 + d^2)*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] &&
NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && LtQ[n, -1]

Rule 3626

Int[((A_) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*
(x_)]), x_Symbol] :> Simp[((a*A + b*B - a*C)*x)/(a^2 + b^2), x] + (Dist[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)/(a^2 + b^2), I
nt[(1 + Tan[e + f*x]^2)/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x] - Dist[(A*b - a*B - b*C)/(a^2 + b^2), Int[Tan[e + f*x], x
], x]) /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[A*b^2 - a*b*B + a^2*C, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[A*b - a
*B - b*C, 0]

Rule 3617

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_) + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Dist[
A/(b*f), Subst[Int[(a + x)^m, x], x, b*Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C, m}, x] && EqQ[A, C]

Rule 31

Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(-1), x_Symbol] :> Simp[Log[RemoveContent[a + b*x, x]]/b, x] /; FreeQ[{a, b}, x]

Rule 3475

Int[tan[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> -Simp[Log[RemoveContent[Cos[c + d*x], x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(a+b \tan (e+f x))^4}{(c+d \tan (e+f x))^3} \, dx &=-\frac{(b c-a d)^2 (a+b \tan (e+f x))^2}{2 d \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}+\frac{\int \frac{(a+b \tan (e+f x)) \left (2 \left (b^3 c^2+a^3 c d-3 a b^2 c d+3 a^2 b d^2\right )+2 d \left (3 a^2 b c-b^3 c-a^3 d+3 a b^2 d\right ) \tan (e+f x)+2 b^3 \left (c^2+d^2\right ) \tan ^2(e+f x)\right )}{(c+d \tan (e+f x))^2} \, dx}{2 d \left (c^2+d^2\right )}\\ &=-\frac{(b c-a d)^2 (a+b \tan (e+f x))^2}{2 d \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}+\frac{(b c-a d)^3 \left (2 a c d+b \left (c^2+3 d^2\right )\right )}{d^3 \left (c^2+d^2\right )^2 f (c+d \tan (e+f x))}+\frac{\int \frac{2 \left (8 a^3 b c d^3-8 a b^3 c d^3+a^4 d^2 \left (c^2-d^2\right )-6 a^2 b^2 d^2 \left (c^2-d^2\right )+b^4 \left (c^4+3 c^2 d^2\right )\right )+4 d^2 \left (a^2 c-b^2 c+2 a b d\right ) \left (2 a b c-a^2 d+b^2 d\right ) \tan (e+f x)+2 b^4 \left (c^2+d^2\right )^2 \tan ^2(e+f x)}{c+d \tan (e+f x)} \, dx}{2 d^2 \left (c^2+d^2\right )^2}\\ &=-\frac{\left (6 a^2 b^2 c \left (c^2-3 d^2\right )-b^4 c \left (c^2-3 d^2\right )-4 a^3 b d \left (3 c^2-d^2\right )+4 a b^3 d \left (3 c^2-d^2\right )-a^4 \left (c^3-3 c d^2\right )\right ) x}{\left (c^2+d^2\right )^3}-\frac{(b c-a d)^2 (a+b \tan (e+f x))^2}{2 d \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}+\frac{(b c-a d)^3 \left (2 a c d+b \left (c^2+3 d^2\right )\right )}{d^3 \left (c^2+d^2\right )^2 f (c+d \tan (e+f x))}+\frac{\left (4 a^3 b c \left (c^2-3 d^2\right )-4 a b^3 c \left (c^2-3 d^2\right )+6 a^2 b^2 d \left (3 c^2-d^2\right )-b^4 d \left (3 c^2-d^2\right )-a^4 \left (3 c^2 d-d^3\right )\right ) \int \tan (e+f x) \, dx}{\left (c^2+d^2\right )^3}+\frac{\left ((b c-a d)^2 \left (a^2 d^2 \left (3 c^2-d^2\right )+2 a b c d \left (c^2+5 d^2\right )+b^2 \left (c^4+3 c^2 d^2+6 d^4\right )\right )\right ) \int \frac{1+\tan ^2(e+f x)}{c+d \tan (e+f x)} \, dx}{d^2 \left (c^2+d^2\right )^3}\\ &=-\frac{\left (6 a^2 b^2 c \left (c^2-3 d^2\right )-b^4 c \left (c^2-3 d^2\right )-4 a^3 b d \left (3 c^2-d^2\right )+4 a b^3 d \left (3 c^2-d^2\right )-a^4 \left (c^3-3 c d^2\right )\right ) x}{\left (c^2+d^2\right )^3}-\frac{\left (4 a^3 b c \left (c^2-3 d^2\right )-4 a b^3 c \left (c^2-3 d^2\right )+6 a^2 b^2 d \left (3 c^2-d^2\right )-b^4 d \left (3 c^2-d^2\right )-a^4 \left (3 c^2 d-d^3\right )\right ) \log (\cos (e+f x))}{\left (c^2+d^2\right )^3 f}-\frac{(b c-a d)^2 (a+b \tan (e+f x))^2}{2 d \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}+\frac{(b c-a d)^3 \left (2 a c d+b \left (c^2+3 d^2\right )\right )}{d^3 \left (c^2+d^2\right )^2 f (c+d \tan (e+f x))}+\frac{\left ((b c-a d)^2 \left (a^2 d^2 \left (3 c^2-d^2\right )+2 a b c d \left (c^2+5 d^2\right )+b^2 \left (c^4+3 c^2 d^2+6 d^4\right )\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{c+x} \, dx,x,d \tan (e+f x)\right )}{d^3 \left (c^2+d^2\right )^3 f}\\ &=-\frac{\left (6 a^2 b^2 c \left (c^2-3 d^2\right )-b^4 c \left (c^2-3 d^2\right )-4 a^3 b d \left (3 c^2-d^2\right )+4 a b^3 d \left (3 c^2-d^2\right )-a^4 \left (c^3-3 c d^2\right )\right ) x}{\left (c^2+d^2\right )^3}-\frac{\left (4 a^3 b c \left (c^2-3 d^2\right )-4 a b^3 c \left (c^2-3 d^2\right )+6 a^2 b^2 d \left (3 c^2-d^2\right )-b^4 d \left (3 c^2-d^2\right )-a^4 \left (3 c^2 d-d^3\right )\right ) \log (\cos (e+f x))}{\left (c^2+d^2\right )^3 f}+\frac{(b c-a d)^2 \left (a^2 d^2 \left (3 c^2-d^2\right )+2 a b c d \left (c^2+5 d^2\right )+b^2 \left (c^4+3 c^2 d^2+6 d^4\right )\right ) \log (c+d \tan (e+f x))}{d^3 \left (c^2+d^2\right )^3 f}-\frac{(b c-a d)^2 (a+b \tan (e+f x))^2}{2 d \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}+\frac{(b c-a d)^3 \left (2 a c d+b \left (c^2+3 d^2\right )\right )}{d^3 \left (c^2+d^2\right )^2 f (c+d \tan (e+f x))}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 6.89039, size = 2775, normalized size = 6.83 \[ \text{Result too large to show} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(a + b*Tan[e + f*x])^4/(c + d*Tan[e + f*x])^3,x]

[Out]

((I*b^4*c^13*d^2 + b^4*c^12*d^3 + (5*I)*b^4*c^11*d^4 - (4*I)*a^3*b*c^10*d^5 + (4*I)*a*b^3*c^10*d^5 + 5*b^4*c^1
0*d^5 + (3*I)*a^4*c^9*d^6 - 4*a^3*b*c^9*d^6 - (18*I)*a^2*b^2*c^9*d^6 + 4*a*b^3*c^9*d^6 + (13*I)*b^4*c^9*d^6 +
3*a^4*c^8*d^7 + (4*I)*a^3*b*c^8*d^7 - 18*a^2*b^2*c^8*d^7 - (4*I)*a*b^3*c^8*d^7 + 13*b^4*c^8*d^7 + (5*I)*a^4*c^
7*d^8 + 4*a^3*b*c^7*d^8 - (30*I)*a^2*b^2*c^7*d^8 - 4*a*b^3*c^7*d^8 + (15*I)*b^4*c^7*d^8 + 5*a^4*c^6*d^9 + (20*
I)*a^3*b*c^6*d^9 - 30*a^2*b^2*c^6*d^9 - (20*I)*a*b^3*c^6*d^9 + 15*b^4*c^6*d^9 + I*a^4*c^5*d^10 + 20*a^3*b*c^5*
d^10 - (6*I)*a^2*b^2*c^5*d^10 - 20*a*b^3*c^5*d^10 + (6*I)*b^4*c^5*d^10 + a^4*c^4*d^11 + (12*I)*a^3*b*c^4*d^11
- 6*a^2*b^2*c^4*d^11 - (12*I)*a*b^3*c^4*d^11 + 6*b^4*c^4*d^11 - I*a^4*c^3*d^12 + 12*a^3*b*c^3*d^12 + (6*I)*a^2
*b^2*c^3*d^12 - 12*a*b^3*c^3*d^12 - a^4*c^2*d^13 + 6*a^2*b^2*c^2*d^13)*(e + f*x)*Cos[e + f*x]*(c*Cos[e + f*x]
+ d*Sin[e + f*x])^3*(a + b*Tan[e + f*x])^4)/(c^2*(c - I*d)^6*(c + I*d)^5*d^5*f*(a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x
])^4*(c + d*Tan[e + f*x])^3) - (I*(b^4*c^6 + 3*b^4*c^4*d^2 - 4*a^3*b*c^3*d^3 + 4*a*b^3*c^3*d^3 + 3*a^4*c^2*d^4
- 18*a^2*b^2*c^2*d^4 + 6*b^4*c^2*d^4 + 12*a^3*b*c*d^5 - 12*a*b^3*c*d^5 - a^4*d^6 + 6*a^2*b^2*d^6)*ArcTan[Tan[
e + f*x]]*Cos[e + f*x]*(c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x])^3*(a + b*Tan[e + f*x])^4)/(d^3*(c^2 + d^2)^3*f*(a*Cos
[e + f*x] + b*Sin[e + f*x])^4*(c + d*Tan[e + f*x])^3) - (b^4*Cos[e + f*x]*Log[Cos[e + f*x]]*(c*Cos[e + f*x] +
d*Sin[e + f*x])^3*(a + b*Tan[e + f*x])^4)/(d^3*f*(a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x])^4*(c + d*Tan[e + f*x])^3) +
((b^4*c^6 + 3*b^4*c^4*d^2 - 4*a^3*b*c^3*d^3 + 4*a*b^3*c^3*d^3 + 3*a^4*c^2*d^4 - 18*a^2*b^2*c^2*d^4 + 6*b^4*c^
2*d^4 + 12*a^3*b*c*d^5 - 12*a*b^3*c*d^5 - a^4*d^6 + 6*a^2*b^2*d^6)*Cos[e + f*x]*Log[(c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e
+ f*x])^2]*(c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x])^3*(a + b*Tan[e + f*x])^4)/(2*d^3*(c^2 + d^2)^3*f*(a*Cos[e + f*x]
+ b*Sin[e + f*x])^4*(c + d*Tan[e + f*x])^3) + (Cos[e + f*x]*(c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x])*(-2*b^4*c^7*d +
4*a*b^3*c^6*d^2 - 6*b^4*c^5*d^3 - 4*a^3*b*c^4*d^4 + 16*a*b^3*c^4*d^4 + 2*a^4*c^3*d^5 - 12*a^2*b^2*c^3*d^5 - 4*
b^4*c^3*d^5 + 12*a*b^3*c^2*d^6 + 2*a^4*c*d^7 - 12*a^2*b^2*c*d^7 + 4*a^3*b*d^8 + a^4*c^6*d^2*(e + f*x) - 6*a^2*
b^2*c^6*d^2*(e + f*x) + b^4*c^6*d^2*(e + f*x) + 12*a^3*b*c^5*d^3*(e + f*x) - 12*a*b^3*c^5*d^3*(e + f*x) - 2*a^
4*c^4*d^4*(e + f*x) + 12*a^2*b^2*c^4*d^4*(e + f*x) - 2*b^4*c^4*d^4*(e + f*x) + 8*a^3*b*c^3*d^5*(e + f*x) - 8*a
*b^3*c^3*d^5*(e + f*x) - 3*a^4*c^2*d^6*(e + f*x) + 18*a^2*b^2*c^2*d^6*(e + f*x) - 3*b^4*c^2*d^6*(e + f*x) - 4*
a^3*b*c*d^7*(e + f*x) + 4*a*b^3*c*d^7*(e + f*x) + b^4*c^7*d*Cos[2*(e + f*x)] - 6*a^2*b^2*c^5*d^3*Cos[2*(e + f*
x)] + 5*b^4*c^5*d^3*Cos[2*(e + f*x)] + 8*a^3*b*c^4*d^4*Cos[2*(e + f*x)] - 12*a*b^3*c^4*d^4*Cos[2*(e + f*x)] -
3*a^4*c^3*d^5*Cos[2*(e + f*x)] + 6*a^2*b^2*c^3*d^5*Cos[2*(e + f*x)] + 4*b^4*c^3*d^5*Cos[2*(e + f*x)] + 4*a^3*b
*c^2*d^6*Cos[2*(e + f*x)] - 12*a*b^3*c^2*d^6*Cos[2*(e + f*x)] - 3*a^4*c*d^7*Cos[2*(e + f*x)] + 12*a^2*b^2*c*d^
7*Cos[2*(e + f*x)] - 4*a^3*b*d^8*Cos[2*(e + f*x)] + a^4*c^6*d^2*(e + f*x)*Cos[2*(e + f*x)] - 6*a^2*b^2*c^6*d^2
*(e + f*x)*Cos[2*(e + f*x)] + b^4*c^6*d^2*(e + f*x)*Cos[2*(e + f*x)] + 12*a^3*b*c^5*d^3*(e + f*x)*Cos[2*(e + f
*x)] - 12*a*b^3*c^5*d^3*(e + f*x)*Cos[2*(e + f*x)] - 4*a^4*c^4*d^4*(e + f*x)*Cos[2*(e + f*x)] + 24*a^2*b^2*c^4
*d^4*(e + f*x)*Cos[2*(e + f*x)] - 4*b^4*c^4*d^4*(e + f*x)*Cos[2*(e + f*x)] - 16*a^3*b*c^3*d^5*(e + f*x)*Cos[2*
(e + f*x)] + 16*a*b^3*c^3*d^5*(e + f*x)*Cos[2*(e + f*x)] + 3*a^4*c^2*d^6*(e + f*x)*Cos[2*(e + f*x)] - 18*a^2*b
^2*c^2*d^6*(e + f*x)*Cos[2*(e + f*x)] + 3*b^4*c^2*d^6*(e + f*x)*Cos[2*(e + f*x)] + 4*a^3*b*c*d^7*(e + f*x)*Cos
[2*(e + f*x)] - 4*a*b^3*c*d^7*(e + f*x)*Cos[2*(e + f*x)] - b^4*c^8*Sin[2*(e + f*x)] + 6*a^2*b^2*c^6*d^2*Sin[2*
(e + f*x)] - 5*b^4*c^6*d^2*Sin[2*(e + f*x)] - 8*a^3*b*c^5*d^3*Sin[2*(e + f*x)] + 12*a*b^3*c^5*d^3*Sin[2*(e + f
*x)] + 3*a^4*c^4*d^4*Sin[2*(e + f*x)] - 6*a^2*b^2*c^4*d^4*Sin[2*(e + f*x)] - 4*b^4*c^4*d^4*Sin[2*(e + f*x)] -
4*a^3*b*c^3*d^5*Sin[2*(e + f*x)] + 12*a*b^3*c^3*d^5*Sin[2*(e + f*x)] + 3*a^4*c^2*d^6*Sin[2*(e + f*x)] - 12*a^2
*b^2*c^2*d^6*Sin[2*(e + f*x)] + 4*a^3*b*c*d^7*Sin[2*(e + f*x)] + 2*a^4*c^5*d^3*(e + f*x)*Sin[2*(e + f*x)] - 12
*a^2*b^2*c^5*d^3*(e + f*x)*Sin[2*(e + f*x)] + 2*b^4*c^5*d^3*(e + f*x)*Sin[2*(e + f*x)] + 24*a^3*b*c^4*d^4*(e +
f*x)*Sin[2*(e + f*x)] - 24*a*b^3*c^4*d^4*(e + f*x)*Sin[2*(e + f*x)] - 6*a^4*c^3*d^5*(e + f*x)*Sin[2*(e + f*x)
] + 36*a^2*b^2*c^3*d^5*(e + f*x)*Sin[2*(e + f*x)] - 6*b^4*c^3*d^5*(e + f*x)*Sin[2*(e + f*x)] - 8*a^3*b*c^2*d^6
*(e + f*x)*Sin[2*(e + f*x)] + 8*a*b^3*c^2*d^6*(e + f*x)*Sin[2*(e + f*x)])*(a + b*Tan[e + f*x])^4)/(2*c*(c - I*
d)^3*(c + I*d)^3*d^2*f*(a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x])^4*(c + d*Tan[e + f*x])^3)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.051, size = 1411, normalized size = 3.5 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+b*tan(f*x+e))^4/(c+d*tan(f*x+e))^3,x)

[Out]

-3/f/(c^2+d^2)^3*arctan(tan(f*x+e))*a^4*c*d^2-4/f/(c^2+d^2)^3*arctan(tan(f*x+e))*a^3*b*d^3-6/f/(c^2+d^2)^3*arc
tan(tan(f*x+e))*a^2*b^2*c^3+4/f/(c^2+d^2)^3*arctan(tan(f*x+e))*a*b^3*d^3-3/f/(c^2+d^2)^3*arctan(tan(f*x+e))*b^
4*c*d^2+2/f/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*a^3*b*c^3-3/2/f/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*a^4*c^2*d+3/f/(c^2+d
^2)^3/d*ln(c+d*tan(f*x+e))*b^4*c^4+6/f/(c^2+d^2)^3*d*ln(c+d*tan(f*x+e))*b^4*c^2+3/f/(c^2+d^2)^3*d*ln(c+d*tan(f
*x+e))*a^4*c^2+6/f/(c^2+d^2)^3*d^3*ln(c+d*tan(f*x+e))*a^2*b^2+1/f/(c^2+d^2)^3/d^3*ln(c+d*tan(f*x+e))*b^4*c^6+2
/f/(c^2+d^2)/(c+d*tan(f*x+e))^2*a^3*b*c-2/f*d/(c^2+d^2)^2/(c+d*tan(f*x+e))*a^4*c+1/f/(c^2+d^2)^3*arctan(tan(f*
x+e))*a^4*c^3+1/f/(c^2+d^2)^3*arctan(tan(f*x+e))*b^4*c^3-1/2/f*d/(c^2+d^2)/(c+d*tan(f*x+e))^2*a^4-1/f/(c^2+d^2
)^3*d^3*ln(c+d*tan(f*x+e))*a^4+1/2/f/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*a^4*d^3+9/f/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)
*a^2*b^2*c^2*d+6/f/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*a*b^3*c*d^2+12/f/(c^2+d^2)^3*arctan(tan(f*x+e))*a^3*b*c^2*d-
6/f/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*a^3*b*c*d^2-3/f/d/(c^2+d^2)/(c+d*tan(f*x+e))^2*c^2*a^2*b^2+2/f/d^2/(c^2+d^2
)/(c+d*tan(f*x+e))^2*a*b^3*c^3+12/f*d/(c^2+d^2)^2/(c+d*tan(f*x+e))*a^2*b^2*c-4/f/d^2/(c^2+d^2)^2/(c+d*tan(f*x+
e))*a*b^3*c^4-12/f/(c^2+d^2)^2/(c+d*tan(f*x+e))*a*b^3*c^2+1/2/f/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*b^4*d^3+2/f/d^3
/(c^2+d^2)^2/(c+d*tan(f*x+e))*b^4*c^5-3/2/f/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*b^4*c^2*d+4/f/(c^2+d^2)^3*ln(c+d*ta
n(f*x+e))*a*b^3*c^3+4/f/(c^2+d^2)^2/(c+d*tan(f*x+e))*a^3*b*c^2+18/f/(c^2+d^2)^3*arctan(tan(f*x+e))*a^2*b^2*c*d
^2-12/f/(c^2+d^2)^3*arctan(tan(f*x+e))*a*b^3*c^2*d+12/f/(c^2+d^2)^3*d^2*ln(c+d*tan(f*x+e))*a^3*b*c-18/f/(c^2+d
^2)^3*d*ln(c+d*tan(f*x+e))*a^2*b^2*c^2-12/f/(c^2+d^2)^3*d^2*ln(c+d*tan(f*x+e))*a*b^3*c-1/2/f/d^3/(c^2+d^2)/(c+
d*tan(f*x+e))^2*b^4*c^4-3/f/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*a^2*b^2*d^3-2/f/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*a*b^
3*c^3-4/f*d^2/(c^2+d^2)^2/(c+d*tan(f*x+e))*a^3*b+4/f/d/(c^2+d^2)^2/(c+d*tan(f*x+e))*b^4*c^3-4/f/(c^2+d^2)^3*ln
(c+d*tan(f*x+e))*a^3*b*c^3

________________________________________________________________________________________

Maxima [A]  time = 1.87384, size = 864, normalized size = 2.13 \begin{align*} \frac{\frac{2 \,{\left ({\left (a^{4} - 6 \, a^{2} b^{2} + b^{4}\right )} c^{3} + 12 \,{\left (a^{3} b - a b^{3}\right )} c^{2} d - 3 \,{\left (a^{4} - 6 \, a^{2} b^{2} + b^{4}\right )} c d^{2} - 4 \,{\left (a^{3} b - a b^{3}\right )} d^{3}\right )}{\left (f x + e\right )}}{c^{6} + 3 \, c^{4} d^{2} + 3 \, c^{2} d^{4} + d^{6}} + \frac{2 \,{\left (b^{4} c^{6} + 3 \, b^{4} c^{4} d^{2} - 4 \,{\left (a^{3} b - a b^{3}\right )} c^{3} d^{3} + 3 \,{\left (a^{4} - 6 \, a^{2} b^{2} + 2 \, b^{4}\right )} c^{2} d^{4} + 12 \,{\left (a^{3} b - a b^{3}\right )} c d^{5} -{\left (a^{4} - 6 \, a^{2} b^{2}\right )} d^{6}\right )} \log \left (d \tan \left (f x + e\right ) + c\right )}{c^{6} d^{3} + 3 \, c^{4} d^{5} + 3 \, c^{2} d^{7} + d^{9}} + \frac{{\left (4 \,{\left (a^{3} b - a b^{3}\right )} c^{3} - 3 \,{\left (a^{4} - 6 \, a^{2} b^{2} + b^{4}\right )} c^{2} d - 12 \,{\left (a^{3} b - a b^{3}\right )} c d^{2} +{\left (a^{4} - 6 \, a^{2} b^{2} + b^{4}\right )} d^{3}\right )} \log \left (\tan \left (f x + e\right )^{2} + 1\right )}{c^{6} + 3 \, c^{4} d^{2} + 3 \, c^{2} d^{4} + d^{6}} + \frac{3 \, b^{4} c^{6} - 4 \, a b^{3} c^{5} d - 4 \, a^{3} b c d^{5} - a^{4} d^{6} -{\left (6 \, a^{2} b^{2} - 7 \, b^{4}\right )} c^{4} d^{2} + 4 \,{\left (3 \, a^{3} b - 5 \, a b^{3}\right )} c^{3} d^{3} -{\left (5 \, a^{4} - 18 \, a^{2} b^{2}\right )} c^{2} d^{4} + 4 \,{\left (b^{4} c^{5} d - 2 \, a b^{3} c^{4} d^{2} + 2 \, b^{4} c^{3} d^{3} - 2 \, a^{3} b d^{6} + 2 \,{\left (a^{3} b - 3 \, a b^{3}\right )} c^{2} d^{4} -{\left (a^{4} - 6 \, a^{2} b^{2}\right )} c d^{5}\right )} \tan \left (f x + e\right )}{c^{6} d^{3} + 2 \, c^{4} d^{5} + c^{2} d^{7} +{\left (c^{4} d^{5} + 2 \, c^{2} d^{7} + d^{9}\right )} \tan \left (f x + e\right )^{2} + 2 \,{\left (c^{5} d^{4} + 2 \, c^{3} d^{6} + c d^{8}\right )} \tan \left (f x + e\right )}}{2 \, f} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(f*x+e))^4/(c+d*tan(f*x+e))^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/2*(2*((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c^3 + 12*(a^3*b - a*b^3)*c^2*d - 3*(a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c*d^2 - 4*(a^3*b -
a*b^3)*d^3)*(f*x + e)/(c^6 + 3*c^4*d^2 + 3*c^2*d^4 + d^6) + 2*(b^4*c^6 + 3*b^4*c^4*d^2 - 4*(a^3*b - a*b^3)*c^3
*d^3 + 3*(a^4 - 6*a^2*b^2 + 2*b^4)*c^2*d^4 + 12*(a^3*b - a*b^3)*c*d^5 - (a^4 - 6*a^2*b^2)*d^6)*log(d*tan(f*x +
e) + c)/(c^6*d^3 + 3*c^4*d^5 + 3*c^2*d^7 + d^9) + (4*(a^3*b - a*b^3)*c^3 - 3*(a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c^2*d -
12*(a^3*b - a*b^3)*c*d^2 + (a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*d^3)*log(tan(f*x + e)^2 + 1)/(c^6 + 3*c^4*d^2 + 3*c^2*d^4 +
d^6) + (3*b^4*c^6 - 4*a*b^3*c^5*d - 4*a^3*b*c*d^5 - a^4*d^6 - (6*a^2*b^2 - 7*b^4)*c^4*d^2 + 4*(3*a^3*b - 5*a*
b^3)*c^3*d^3 - (5*a^4 - 18*a^2*b^2)*c^2*d^4 + 4*(b^4*c^5*d - 2*a*b^3*c^4*d^2 + 2*b^4*c^3*d^3 - 2*a^3*b*d^6 + 2
*(a^3*b - 3*a*b^3)*c^2*d^4 - (a^4 - 6*a^2*b^2)*c*d^5)*tan(f*x + e))/(c^6*d^3 + 2*c^4*d^5 + c^2*d^7 + (c^4*d^5
+ 2*c^2*d^7 + d^9)*tan(f*x + e)^2 + 2*(c^5*d^4 + 2*c^3*d^6 + c*d^8)*tan(f*x + e)))/f

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 3.52421, size = 2539, normalized size = 6.25 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(f*x+e))^4/(c+d*tan(f*x+e))^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/2*(b^4*c^6*d^2 + 4*a*b^3*c^5*d^3 - 4*a^3*b*c*d^7 - a^4*d^8 - (18*a^2*b^2 - 7*b^4)*c^4*d^4 + 20*(a^3*b - a*b^
3)*c^3*d^5 - (7*a^4 - 18*a^2*b^2)*c^2*d^6 + 2*((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c^5*d^3 + 12*(a^3*b - a*b^3)*c^4*d^4 -
3*(a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c^3*d^5 - 4*(a^3*b - a*b^3)*c^2*d^6)*f*x - (3*b^4*c^6*d^2 - 4*a*b^3*c^5*d^3 - 12*a^3
*b*c*d^7 + a^4*d^8 - 3*(2*a^2*b^2 - 3*b^4)*c^4*d^4 + 4*(3*a^3*b - 7*a*b^3)*c^3*d^5 - 5*(a^4 - 6*a^2*b^2)*c^2*d
^6 - 2*((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c^3*d^5 + 12*(a^3*b - a*b^3)*c^2*d^6 - 3*(a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c*d^7 - 4*(a^
3*b - a*b^3)*d^8)*f*x)*tan(f*x + e)^2 + (b^4*c^8 + 3*b^4*c^6*d^2 - 4*(a^3*b - a*b^3)*c^5*d^3 + 3*(a^4 - 6*a^2*
b^2 + 2*b^4)*c^4*d^4 + 12*(a^3*b - a*b^3)*c^3*d^5 - (a^4 - 6*a^2*b^2)*c^2*d^6 + (b^4*c^6*d^2 + 3*b^4*c^4*d^4 -
4*(a^3*b - a*b^3)*c^3*d^5 + 3*(a^4 - 6*a^2*b^2 + 2*b^4)*c^2*d^6 + 12*(a^3*b - a*b^3)*c*d^7 - (a^4 - 6*a^2*b^2
)*d^8)*tan(f*x + e)^2 + 2*(b^4*c^7*d + 3*b^4*c^5*d^3 - 4*(a^3*b - a*b^3)*c^4*d^4 + 3*(a^4 - 6*a^2*b^2 + 2*b^4)
*c^3*d^5 + 12*(a^3*b - a*b^3)*c^2*d^6 - (a^4 - 6*a^2*b^2)*c*d^7)*tan(f*x + e))*log((d^2*tan(f*x + e)^2 + 2*c*d
*tan(f*x + e) + c^2)/(tan(f*x + e)^2 + 1)) - (b^4*c^8 + 3*b^4*c^6*d^2 + 3*b^4*c^4*d^4 + b^4*c^2*d^6 + (b^4*c^6
*d^2 + 3*b^4*c^4*d^4 + 3*b^4*c^2*d^6 + b^4*d^8)*tan(f*x + e)^2 + 2*(b^4*c^7*d + 3*b^4*c^5*d^3 + 3*b^4*c^3*d^5
+ b^4*c*d^7)*tan(f*x + e))*log(1/(tan(f*x + e)^2 + 1)) - 2*(b^4*c^7*d + 4*a^3*b*d^8 - 3*(2*a^2*b^2 - b^4)*c^5*
d^3 + 4*(2*a^3*b - 3*a*b^3)*c^4*d^4 - (3*a^4 - 18*a^2*b^2 + 4*b^4)*c^3*d^5 - 12*(a^3*b - a*b^3)*c^2*d^6 + 3*(a
^4 - 4*a^2*b^2)*c*d^7 - 2*((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c^4*d^4 + 12*(a^3*b - a*b^3)*c^3*d^5 - 3*(a^4 - 6*a^2*b^2 +
b^4)*c^2*d^6 - 4*(a^3*b - a*b^3)*c*d^7)*f*x)*tan(f*x + e))/((c^6*d^5 + 3*c^4*d^7 + 3*c^2*d^9 + d^11)*f*tan(f*
x + e)^2 + 2*(c^7*d^4 + 3*c^5*d^6 + 3*c^3*d^8 + c*d^10)*f*tan(f*x + e) + (c^8*d^3 + 3*c^6*d^5 + 3*c^4*d^7 + c^
2*d^9)*f)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: AttributeError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(f*x+e))**4/(c+d*tan(f*x+e))**3,x)

[Out]

Exception raised: AttributeError

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 2.81398, size = 1439, normalized size = 3.54 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(f*x+e))^4/(c+d*tan(f*x+e))^3,x, algorithm="giac")

[Out]

1/2*(2*(a^4*c^3 - 6*a^2*b^2*c^3 + b^4*c^3 + 12*a^3*b*c^2*d - 12*a*b^3*c^2*d - 3*a^4*c*d^2 + 18*a^2*b^2*c*d^2 -
3*b^4*c*d^2 - 4*a^3*b*d^3 + 4*a*b^3*d^3)*(f*x + e)/(c^6 + 3*c^4*d^2 + 3*c^2*d^4 + d^6) + (4*a^3*b*c^3 - 4*a*b
^3*c^3 - 3*a^4*c^2*d + 18*a^2*b^2*c^2*d - 3*b^4*c^2*d - 12*a^3*b*c*d^2 + 12*a*b^3*c*d^2 + a^4*d^3 - 6*a^2*b^2*
d^3 + b^4*d^3)*log(tan(f*x + e)^2 + 1)/(c^6 + 3*c^4*d^2 + 3*c^2*d^4 + d^6) + 2*(b^4*c^6 + 3*b^4*c^4*d^2 - 4*a^
3*b*c^3*d^3 + 4*a*b^3*c^3*d^3 + 3*a^4*c^2*d^4 - 18*a^2*b^2*c^2*d^4 + 6*b^4*c^2*d^4 + 12*a^3*b*c*d^5 - 12*a*b^3
*c*d^5 - a^4*d^6 + 6*a^2*b^2*d^6)*log(abs(d*tan(f*x + e) + c))/(c^6*d^3 + 3*c^4*d^5 + 3*c^2*d^7 + d^9) - (3*b^
4*c^6*d*tan(f*x + e)^2 + 9*b^4*c^4*d^3*tan(f*x + e)^2 - 12*a^3*b*c^3*d^4*tan(f*x + e)^2 + 12*a*b^3*c^3*d^4*tan
(f*x + e)^2 + 9*a^4*c^2*d^5*tan(f*x + e)^2 - 54*a^2*b^2*c^2*d^5*tan(f*x + e)^2 + 18*b^4*c^2*d^5*tan(f*x + e)^2
+ 36*a^3*b*c*d^6*tan(f*x + e)^2 - 36*a*b^3*c*d^6*tan(f*x + e)^2 - 3*a^4*d^7*tan(f*x + e)^2 + 18*a^2*b^2*d^7*t
an(f*x + e)^2 + 2*b^4*c^7*tan(f*x + e) + 8*a*b^3*c^6*d*tan(f*x + e) + 6*b^4*c^5*d^2*tan(f*x + e) - 32*a^3*b*c^
4*d^3*tan(f*x + e) + 56*a*b^3*c^4*d^3*tan(f*x + e) + 22*a^4*c^3*d^4*tan(f*x + e) - 132*a^2*b^2*c^3*d^4*tan(f*x
+ e) + 28*b^4*c^3*d^4*tan(f*x + e) + 72*a^3*b*c^2*d^5*tan(f*x + e) - 48*a*b^3*c^2*d^5*tan(f*x + e) - 2*a^4*c*
d^6*tan(f*x + e) + 12*a^2*b^2*c*d^6*tan(f*x + e) + 8*a^3*b*d^7*tan(f*x + e) + 4*a*b^3*c^7 + 6*a^2*b^2*c^6*d -
b^4*c^6*d - 24*a^3*b*c^5*d^2 + 36*a*b^3*c^5*d^2 + 14*a^4*c^4*d^3 - 66*a^2*b^2*c^4*d^3 + 11*b^4*c^4*d^3 + 28*a^
3*b*c^3*d^4 - 16*a*b^3*c^3*d^4 + 3*a^4*c^2*d^5 + 4*a^3*b*c*d^6 + a^4*d^7)/((c^6*d^2 + 3*c^4*d^4 + 3*c^2*d^6 +
d^8)*(d*tan(f*x + e) + c)^2))/f